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Funktionsweise des Wasserrades

Das Lorenz'sche Wasserrad ist eine Maschine, die einem mechanischen Pendel "ahnelt. Das Pendel ist der Grundbaustein einer mechanischen Uhr. Im Falle des Pendels werden die durch die Reibung der Pendelaufh"angung bedingten Energieverluste durch die treibende Uhrfeder ausgeglichen. F"ur die wohl dosierte Energiezufuhr ist eine Nichtlinearit"at in den Bewegungsgleichungen verantwortlich. So wird die Ganggenauigkeit einer Uhr ohne "au"sere Einflussnahme sichergestellt.

Beim gezeigten Wasserrad h"alt der gleichf"ormige Wasserzufluss die Pendelbewegung aufrecht. Der spezielle Aufbau des Wasserrades sorgt neben einer geeigneten anf"anglichen Auff"ullung der Wassersch"achte (Anfangsbedingungen) f"ur die, im Gegensatz zur Pendeluhr, unregelm"a"sige Bewegung des Rades.

Dies zeigt, dass sich bereits einfach aufgebaute mechanische Apparate der Voraussagbarkeit ihres Verhaltens entziehen k"onnen, falls nichtlineare Zusammenh"ange eine merkliche Rolle spielen.

Wasser l"auft stetig in die oberen Wassersch"achte. Wenn der Wasserzustrom zu klein ist, so flie"st das Wasser sofort g"anzlich aus den Wassersch"achten und das Wasserrad bleibt in Ruhe. Flie"st mehr Wasser in die oberen Wassersch"achte als aus ihnen heraus, so wird die Ruhelage des Rades instabil und das Rad beginnt in die eine oder andere Richtung zu rotieren.

Wird der Wasserzufluss weiter erh"oht - und das ist die Situation in der sich das ausgestellte Wasserrad befindet - so wird die gleichf"ormige Rotation instabil und das Rad beginnt sich unregelm"a"sig hin und her zu drehen.

Bei hinreichendem Wasserzufluss f"ullen sich die Wassersch"achte sehr rasch, wenn sie sich oben befinden. Das dadurch bedingte "Ubergewicht in der oberen Radh"alfte beschleunigt das Rad schnell und die weniger gef"ullten Wassersch"achte bekommen nicht soviel Wasser ab, wie die bereits gut gef"ullten (Wer hat, dem wird gegeben - eine typische Eigenschaft nichtlinearer Systeme).

In der Folge finden zwei typische Szenarien statt: Entweder ist der Schwung des Wasserrades gro"s genug und es dreht sich, um dann wieder mit Schwingungen zu beginnen, oder der Schwung reicht nicht aus und es dreht sich in die entgegengesetzte Richtung zur"uck.

Die Details der Bewegung des Wasserrades werden durch ein gekoppeltes System von drei Differenzial-Gleichungen beschrieben:

    $\displaystyle \dot{a} = \omega \,b - A\,a$  
    $\displaystyle \dot{b} = -\omega \,a -A\,b + Z$  
    $\displaystyle \dot{\omega} = (-D\, \omega + \pi\,g\,r\,a\,\sin \alpha )/I .$  

Die Variablen haben folgende Bedeutung: $\omega$ Winkelgeschwindigkeit des Rades, $a$, $b$ Wassermengen im Wasserrad, $\alpha$ Winkel zwischen Wasserradachse und dem Lot, $r$ Radius des Wasserrades, $Z$ Wasserzuflussrate, $A$ Wasserabflussrate, $D$ D"ampfung der Bewegung des Rades, $g$ Erdbeschleunigung, $I$ Tr"agheitsmoment des Rades. Die Rayleigh-Zahl lautet

\begin{displaymath}{\rm Rayleigh-Zahl} = \frac{{\rm Antrieb}}{{\rm Reibung}} =
\frac{\pi\, g\, r\,Z\,\sin \alpha}{A^2\,D}. \end{displaymath}

Ist die Rayleigh-Zahl gr"o"ser als 1 so rotiert das Rad.

Die angegebenen Gleichungen sind im Jahre 1963 vom amerikanischen Meteorologen Edward Lorenz hergeleitet worden. Sie beschreiben in sehr vereinfachter Form grundlegende Eigenschaften des Energietransportes in von unten geheizten Schichten (Kochtopf, Bratpfanne, Erdatmosph"are, Magmabewegung im Erdmantel, Konvektionszone der Sonne). Hierbei kommt es in Abh"angigkeit von der Temperaturdifferenz zwischen den oberen und unteren begrenzenden Schichten zu qualitativ verschiedenen Bewegungsmustern (Diffusion- und Konvektion).

Das o.g. nichtlineare Differenzial-Gleichungssystem f"uhrt f"ur geeignet gew"ahlte Parameter zu chaotischen L"osungen. Dies bedeutet im Falle des ausgestellten Wasserrades, dass dessen Bewegungsverhalten nur sehr begrenzt vorauszusehen ist.


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Udo Schwarz 2006-01-12