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Chaos und Nichtlinearität

Umgangsprachlich bezeichnet Chaos oft einen Zustand der Unordnung oder die unvorsehbare Abfolge von Ereignissen. Im folgenden bezeichnet Chaos die eingeschr"ankte Vorhersagbarkeit das Verhaltens eines Systems. Ein typische Beispiel ist der M"unzwurf. Physikalische Systeme lassen sich häufig durch Differentialgleichungen beschreiben. Kennt man dann noch den Zustand des Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt (die sogenannten Anfangsbedingungen), so kann man das zukünftige Verhalten des Systems vorhersagen. Wenn das der Fall ist, sagt man, dass das System deterministisch (völlig vorherbestimmt) ist. Man könnte naiv annehmen, dass deterministische Systeme kein irreguläres Verhalten (Chaos) zeigen können. Der ober erw"ahnte M"unzwurf ein bekanntes Gegenbeispiel.

Bereits um die Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert hatte der große französische Mathematiker und Physiker Jules Henri Poincaré (1854-1912) die Möglichkeit eines nahezu irregulären Verhaltens entdeckt, das in rein deterministischen Modellsystemen entsteht. Er fand das ausgerechnet in der Himmelsmechanik, die nach Newtons Entwicklung der Mechanik eigentlich gelöst war. Poincaré untersuchte insbesondere das Drei-Körper-Problem, d.h. die Bewegung von drei Himmelskörpern, die sich durch Gravitationskräfte gegenseitig beeinflussen. In einem idealisierten Sonnensystem, in dem es zwei Sonnen aber nur einen Planeten gibt, fand er, dass dieser Planet durch die gravitative Einwirkung der beiden Sonnen die unglaublichsten, kompliziertesten Bewegungen ausführt, geradezu wie ein Fußball, der von ``zufälligen'' Stößen vorangetrieben wird.

W"ahrend wir es früher als selbstverständlich ansahen, dass nach Newtons Mechanik in unserem Sonnensystem die Planeten auf Ellipsenbahnen um die Sonne kreisen, ewig und unveränderlich, erscheint diese Stabilität der Planetenbahnen im Licht der modernen Entwicklung der Mechanik als ein Rätsel. Die größten Gelehrten haben sich mit diesem Problem befasst, die Antwort zu finden: ``Ist unser Sonnensystem stabil oder kann es sein, dass zum Beispiel einige Planeten schließlich in die Sonne stürzen, während andere aus ihm herausgeschleudert werden?'' Alles Vorgänge, die mit dem Energie- und dem Impulssatz der Mechanik verträglich wären.

Nichtlinearit"at in den Bewegungsgleichungen f"uhrt oft auf

a
] Multistabilit"at (die Natur darf unter mehreren L"osungen w"ahlen),
b
] Instabilit"at (unerwartete und ungehemmte Eskalation von Ver"anderungen sind m"oglich),
c
] Chaos (zwei fast identische Anfangsbedingugen können sich mit der Zeit völlig verschieden entwickeln) und
d
] Bifurkation (sensitive Abh"angigkeit der zuk"unftigen Entwicklung von den herrschenden Umst"anden).


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Udo Schwarz 2006-01-12