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Untersuchungen der Bifurkationsstruktur der 3D Navier-Stokes- und MHD-Gleichungen mittels approximierender Inertialmannigfaltigkeiten im DFG Schwerpunkt: Ergodentheorie, Analysis und effiziente Simulation dynamischer Systeme

=16.3cm
Abbildung 3.2: In der Abbildung werden Instabilitäten für die magnetohydrodynamischen Gleichungen in Abhängigkeit von der Reynoldszahl und dem Parameter $\lambda$, der den Grad der Helizität des Geschwindigkeitsfeldes charakterisiert, darstellt. Im Bereich kleiner Reynoldszahlen, der sich unterhalb der dicken Linie befindet, existiert ein zeitunabhängiges Geschwindigkeitsfeld ohne Magnetfeld als stabile Lösung der magnetohydrodynamischen Gleichungen. Beim Übergang zu höherer Reynoldszahl kennzeichnet die dicke Linie Instabilitäten, die für $\lambda \leq 0.4$ zu zeitlich periodischen Geschwindigkeitsfeldern mit Magnetfeld (Dynamo-Effekt) bzw. für $\lambda \geq 0.4$ auf chaotische Lösungen ohne Magnetfeld führen. Die anderen Linien stellen weitere Instabilitäten dar, für die die Realteile der Eigenwerte der Jakobimatrix durch Null gehen.
\begin{figure}\epsfbox{pic/MHD/Bifurkation.ps} \end{figure}
=9.cm =16.3cm
Abbildung 3.3: Quasi-periodische Lösung der magneto-hydrodynamischen Gleichungen. Die Lösungstrajektorie, hier dargestellt in der Projektion auf eine Ebene, liegt auf einem Torus in einem unendlich-dimensionalen Raum.
\begin{figure}\epsfbox{pic/MHD/abctorus.ps} \end{figure}
=16.3cm =9.cm
Abbildung 3.4: Lösungstrajektorie der magneto-hydrodynamischen Gleichungen, die auf einem chaotischen Attraktor liegt, dargestellt in der Projektion auf eine Ebene. Der chaotische Attraktor ist aus dem oben dargestellten Torus, der in Resten noch erkennbar ist, bei Erhöhung der Reynoldszahl hervorgegangen.
\begin{figure}\epsfbox{pic/MHD/abcchaos.ps} \end{figure}
Antragsteller: F. Feudel & J. Kurths

Ziel des Projektes ist, allgemeine mathematische Methoden der Analysis und der Numerik auf ein aktuelles und grundlegendes Gebiet der theoretischen Physik, der Magnetohydrodynamik (MHD), anzuwenden und zu spezifizieren.
Die MHD-Gleichungen bestehen aus einem nichtlinearen partiellen Differentialgleichungssystem, das die Kopplung der Navier-Stokes-Gleichung für das Geschwindigkeitsfeld eines Fluidums mit der Induktionsgleichung für das Magnetfeld beschreibt. Für hohe viskose und magnetische Reynoldzahlen, wie sie z.B. auf der Sonnenoberfläche auftreten, lassen sich die Gleichungen nicht mehr durch niedrig-dimensionale Approximationen behandeln, und es läßt sich abschätzen, daß die numerische Lösung der 3D MHD-Gleichungen an die Leistungsgrenzen derzeitiger Supercomputer stößt. Somit gewinnt die Bestimmung der Anzahl und der Art der relevanten Freiheitsgrade, die das qualitative Verhalten der Dynamik korrekt widerspiegeln, immer mehr an Bedeutung.
Für eine ausgewählte Klasse von Differentialgleichungen,wie z.B. der Kuramoto-Sivashinsky Gleichung, der Ginzburg-Landau Gleichung und der 2D Navier-Stokes-Gleichung, wurde die Existenz einer sogenannten Inertialmannigfaltigkeit bewiesen, die zu einer Reduktion der partiellen Differentialgleichung auf ein endlich-dimensionales gewöhnliches Differentialgleichungssystem führt. Neben analytischen Abschätzungen lassen sich aus dieser Theorie auch effiziente Algorithmen für Simulations- und für Bifurkationsuntersuchungen ableiten. Diese Theorie der Inertialmannigfaltigkeiten läßt sich aber nicht formalisieren und muß für jede Gleichung neu spezifiziert werden.
Im vorliegenden Projekt soll für die 3D MHD-Gleichungen eine approximierende Inertialmannigfaltigkeit, die die wesentlichen Merkmale einer echten Inertialmannigfaltigkeit besitzt, konstruiert werden. Desweiteren soll mittels funktionalanalytischer Methoden deren Abstand zum globalen Attraktor und die Zahl der relevanten Moden abgeschätzt werden. Darauf aufbauend sollen effiziente Algorithmen (Nichtlineare Galerkin-Verfahren) entwickelt werden, um das qualitative Lösungsverhalten der MHD-Gleichungen zu studieren.
Im nächsten Schritt soll mittels Simulations- und Bifurkationsuntersuchungen die Dynamik des Magnetfeldes und deren Wechselwirkung mit dem Fluidum besser verstanden werden. Eine interessannte Fragestellung ist dabei, ob sich aus dem Vergleich des Bifurkationsdiagramms der MHD-Gleichungen mit dem des rein hydrodynamischen Falls, Aussagen über die Existenz und Entwicklung eines selbst-erregten Dynamos, wie er z.B. auf der Sonne existiert, ableiten lassen. Im Gegensatz zu den dazu bisher existierenden rein kinematischen Simulationen, die die Rückwirkung auf das Geschwindigkeitsfeld vernachlässigen, soll auf der Basis der vollen MHD-Gleichungen die Existenz sogenannter schneller Dynamos untersucht werden.
In diesem Vorhaben wird versucht, eine Verbindung zwischen Methoden der reinen Analysis, der Entwicklung effizienter Algorithmen und der Untersuchung eines relevanten physikalischen Problems, des Dynamoeffekts, zu erzielen.

Laufzeit: 10/94 - 9/96

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Udo Schwarz 2006-09-18