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Ein Schwerpunkt unserer Arbeiten sind nichtlineare Methoden zur Analyse experimenteller Daten, die theoretische Forschungen mit speziellen Anwendungen verbinden. Wesentliches Ziel ist, aus Meßreihen möglichst eindeutig Strukturen zu erschließen, die den beobachteten Phänomenen zugrunde liegen. Im Unterschied zu Laborexperimenten, in denen die experimentellen Bedingungen weitgehend kontrollierbar sind, stellen Messungen natürlicher Systeme, wie sie etwa in der kognitiven Psychologie, Physiologie, Ökologie, Astro- und Geophysik studiert werden, zusätzliche Herausforderungen an die Datenanalyse. Typische Schwierigkeiten sind, daß derartige Messungen nicht unter gleichen Bedingungen wiederholt werden können, oder daß es sich häufig um Beobachtungen transienter Phänomene handelt.

Werkzeuge:

Visualisierungen

Oft lässt sich mittels geschickter Visualisierung der Zeitreihe(n) ein erster Eindruck von Abhängigkeiten gewinnen.
Scatter Plot oder Return Map: Ausgew"ahlte Paare von Zeitreihenpunkte werden gegeeinander aufgetragen. Das entstehende Punktmuster gibt Auskunft "uber die Eigenschaften der Zeitreihe. Time folding: Gleichlange Teilintervalle der Zeitreihe werden durch Stapeln zu einer Matrix zuzammengefügt und farbcodiert dargestellt. Phasenraumrekonstruktion: Auf der Grundlage des Takensschen Einbettungstheorems wird mit der Methode der zeitverz"ogerten Koordinaten oder der Methode sukzessiven Ableitungen aus der Zeitreihe der Phasenraum des System rekonstruiert.

Klassische Verfahren

Histogramm
Filter
Korrelations- und Spektralanalyse
Kreuz-Spektren, Kohärenz
Hilbert Transformation
PCA, EOF, SVD, SSA

Stationarität

Annette

Die meisten datenanalytischen Verfahren, wie beispielsweise Schätzungen von Leistungsspektren, Dimensionen und Entropien oder die Vorhersage der Zukunft eines Systems aus seiner Vergangenheit setzen Stationarität der zu behandelnden Zeitreihe voraus, d. h. die wesentlichen Eigenschaften des Systems müssen zeitunabhängig sein. Wir haben Verfahren entwickelt, die anhand verschiedener Eigenschaften testen, ob eine gegebene Datenreihe stationär ist.

Komplexitätsmaße und symbolische Dynamik

Annette

Ersatzdaten/Surrogates

Marco T

Ein wesentliches Moment der Zeitreihenanalyse ist die Methode der Ersatzdaten (surrogate data). Ersatzdaten sind Zeitreihen, die entweder durch gezielte Modifikation aus den Originaldaten hervorgehen (Bootstrap-Verfahren: Shuffling und Phasen-Randomisierung) oder Realisierungen/Trajektorien physikalisch motivierter Modellvorstellungen repräsentieren.

Recurrence Plots

Norbert

Häufig ist die Messgenauigkeit der Zeitreihen nicht hinreichend, um die invarianten Eigenschaften der Phasenraumrekonstruktion zu bestimmen. In dieser Situation ermoeglicht die Rekurrenzdarstellung eine topologische Bewertung der Phasenraumrekonstruktion.

Höhere Momente/Bispektren

Waveletanalyse

Marco E

Ein wesentlicher Nachteil der Fourieranalyse bei der Signalanalyse besteht darin, dass lokale Merkmale, insbesondere Singularit"aten, nur unbefriedigend beschrieben werden k"onnen. In diesem Sinne kann die Waveletanalyse als eine Verallgemeinerung Fourieranalyse aufgefasst werden. Statt globaler Basisfunktionen zur Entwicklung der Signale werden lokale Basisfunktionen benutzt.

Cluster-Analyse auf der Basis des superparamagnetischen Phasenübergangs beim Potts-Modell

Clustersuche und -analyse sind wichtige Techniken der Datenanalyse, wenn man an einer Klassifikation von Punkten eines Vektorraums interessiert ist. Das Clustersuchverfahren verwendet ein Modell aus der statistischen Physik: Das homogene Potts-Modell auf irregulärem Gitter. Mit dessen Hilfe werden in der theoretischen Festkörperphysik die magnetischen Eigenschaften von Materialien. Das Verfahrens ist auf Datensätze aus den Bereichen Kosmologie, granularer Gase und Seismologie angewandt worden.

(Stefan Schmidt)

Raum-Zeit-Charakteristik und Dimensionsdichten

Corinna

Synchronisationsanalyse

ACE und nichtlineare Regression

Mamen

Im bivariaten Fall transformiert der ACE Algorithmus die Beziehung zwischen den Variablen x und y mit geeigneten, im allgemeinen nichtlinearen Transformationen auf eine lineare Beziehung zwischen den transformierten Variablen f*(x) und g*(y). D.h. ACE findet die Optimaltransformationen f* und g*, so dass die Korrelation zwischen f*(x) und g*(y) maximal ist.

Voraussagbarkeit

Lyapunov
Niels

Schätzung von Modellparametern


Andre

In vielen Bereichen der Forschung und Technik ist es nicht immer mit vertretbarem Aufwand möglich, physikalische Größen direkt zu messen. Vielmehr lassen sich viele Observablen nur mit Messapparaturen gewinnen, die das eigentliche Signal verzerren und mit Meßrauschen versehen. Nun erscheint es wünschenswert, diese Messeinflüsse zu elimieren - herauszufiltern. Läßt sich der physikalische Prozess und die Messung durch das mathematisches Zustandsraummodell beschreiben, so kann eine solche Filterung durch das Kalman-Filter erreicht werden.

AR[p], Zustandsraummodell, Extended & unscented Kalman