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Lorenz-System

In diesem Abschnitt soll ein dynamisch sehr interessantes System, nämlich das Lorenz-System
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betrachtet werden. Dieses Modell wurde von E. N. Lorenz im Jahre 1963 abgeleitet [22], um eine Konvektionsströmung in Form des Bénard-Problems, d.h. die Form des Strömungsmusters zwischen zwei unterschiedlich temperierten vertikal angeordneten Platten, zu beschreiben. Die Komponente tex2html_wrap_inline1000 ist proportional zum Betrag der Konvektionsgeschwindigkeit und repräsentiert damit das Strömungsmuster, tex2html_wrap_inline1002 ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen aufsteigender und fallender Strömung und tex2html_wrap_inline1080 ist proportional zur Abweichung vom linearen vertikalen Temperaturprofil und stellt damit die nichtlineare Temperaturschichtung dar. Der Punkt in den Bewegungsgleichungen bezeichnet die Ableitung nach einer skalierten Zeit, der Parameter tex2html_wrap_inline1082 entspricht der Prandtl-Zahl, tex2html_wrap_inline1084 der relativen Rayleigh-Zahl und der dritte Parameter tex2html_wrap_inline1086 ist ein Maß für die Zellgeometrie in horizontaler Richtung. Obgleich das Lorenz-Modell in Hinsicht auf die Beschreibung von realen Konvektionsereignissen nur wenig Relevanz besitzt, stellt es aufgrund seiner vielfältigen dynamischen Fähigkeiten (Chaos, Intermittenzverhalten, etc.) jedoch ein sehr interessantes Studienobjekt im Rahmen der Nichtlinearen Dynamik dar. Das Zustandsraummodell wird definiert als
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Dieses Zustandsraummodell ist für tex2html_wrap_inline1088 mit i=1,2,3 global strukturell identifizierbar. Um bei der Erzeugung von tex2html_wrap_inline1092 die Nähe zum Experiment zu simulieren, wird die Länge der Abtastintervalle tex2html_wrap_inline1094 für verschiedene k gemäß einer Gleichverteilung U(0.01,0.05) variiert. Zur Integration der deterministischen Zustandsgleichung werden dieselben numerischen Techniken wie im vorangegangen Beispiel benutzt. Die Systemdynamik für den Parameter tex2html_wrap_inline1100 ist, wie durch theoretische Vorüberlegungen bestätigt [23], eine chaotische. Der Abstand zweier Trajektorien wächst mit der Zeit exponentiell. Das Signal-zu-Rausch Verhältnis wird auf 50 Prozent gesetzt und entspricht demnach durchaus experimentellen Gegebenheiten. Eine Betrachtung von chaotischen Systemen ist insofern interessant, da diese Systeme nur über relativ wenige Parameter verfügen, aber dennoch eine relativ reichhaltige Dynamik bieten, wie sie für verschiedenste Systeme in der Produktion zu finden sind.





Udo Schwarz
Wed Apr 23 10:45:28 MEST 2003