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Das Unscented Kalman-Filter (UKF)

Diese von Julier und Uhlmann [13, , , , ] vorgestellte nichtlineare Kalman-Filter-Variante basiert im Prädiktionsteil auf Simulationen mit anschließender Schätzung der Momente durch eine gewichtete Mittelung. Die Stichprobenwahl unterscheidet sich jedoch erheblich von herkömmlichen stochastischen Verfahren, wie etwa der Verwerfungsmethode mit ihren statistisch unabhängigen Stichprobenelementen. Von Julier und Uhlmann wurde gezeigt, dass sich die Informationen der zu propagierenden Dichte (trunkierte Filterdichte) für bestimmte Zustandsraummodelle in der Stichprobe dergestalt kodieren lassen, so dass der Umfang sehr viel kleiner als üblich ausfällt und zudem unter bestimmten Voraussetzungen an das Zustandsraummodell durch die zugehörigen Schätzer die exakten Werte für die Momente bereitgestellt werden. Eine Herleitung des Filters als Approximation der allgemeinen optimalen Filtergleichungen ist in [18] gegeben.

Von Julier und Uhlmann wurde wenig später eine verfeinerte und reduzierte Stichprobe vorgeschlagen [19]. Damit können nichtlokale Effekte während der Stichprobenkonstruktion erheblich verringert werden, was insbesondere für hohe Zustandsraumdimensionen zu sehr viel besseren Schätzungen der gesuchten Momente führt. Die Reduktion des Stichprobenumfangs auf den vorgeschlagenen minimalen muss jedoch nicht immer eine Verbesserung darstellen wie in [20] gezeigt wird. In [20] wird das UKF als lineares Regressionsfilter interpretiert und die Wirkung der verschiedenen Stichproben auf die Schätzgüte während der Prädiktion anschaulich verdeutlicht. Dieser Zugang erlaubt eine genauere Betrachtung, wie das Filter mit etwaigen Modellunsicherheiten während der Schätzung umgeht.

Der Algorithmus des skalierten Unscented Kalman-Filters (für tex2html_wrap_inline1034) mit ausführlichen Kommentaren:

  1. Initialisierung: Wählen der Anfangsschätzung tex2html_wrap_inline1036. Für Systeme mit deterministischer Zustandsgleichung können die Diagonalelemente der Kovarianz-Matrix tex2html_wrap_inline1038 als Unsicherheit zum gewählten Anfangswert tex2html_wrap_inline1040 interpretiert werden.
  2. Konstruktion der Stichprobe: Berechnen der Sigma-Punkte vom Umfang tex2html_wrap_inline1042 aus dem gegebenen Mittelwert und Kovarianz der Filterdichte tex2html_wrap_inline1044 für tex2html_wrap_inline1046:
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    wobei tex2html_wrap_inline1048 der i-ten Zeile der Matrix-Wurzel entspricht. Der Parameter tex2html_wrap_inline1052 (tex2html_wrap_inline1054) bestimmt die Breite der Verteilung der Sigma-Punkte um den Mittelwert tex2html_wrap_inline1056.
  3. Prädiktion: Die Sigma-Punkte werden der Dynamik unterworfen. Mit anderen Worten, tex2html_wrap_inline1058 und tex2html_wrap_inline1060 werden für alle Sigma-Punkte tex2html_wrap_inline1062 berechnet. Aus der daraus resultierenden Stichprobe für a-priori-Dichte und Likelihood lassen sich deren Mittelwert und Kovarianz schätzen. Die Schätzer sind gegeben durch
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    Die Gewichte sind definiert durch tex2html_wrap_inline1064 tex2html_wrap_inline1066 und tex2html_wrap_inline1068. Zur besseren Vergleichbarkeit und um nicht-lokale Effekte zu vermeiden, sollten die Schätzungen unabhängig von der Zustandsraumdimension sein. Dies erreicht man mit tex2html_wrap_inline1070.
  4. Korrektur: Die vorhergesagten Momente werden mit den Daten tex2html_wrap_inline1072 durch die Kalman Korrektur Gleichungen aktualisiert
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    mit
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    und
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  5. Mit den Schritten (2) bis (5) ist fortzufahren, bis entweder alle verfügbaren Daten-Punkte in die Schätzung eingegangen sind oder bis sich Konvergenz für die Schätzungen der gesuchten Parameter eingestellt hat.
Die auf dem statistischen Ansatz basierende UKF-Prädiktion ist ableitungsfrei, demnach für eine wesentlich größere Klasse von Modellen, u.a. solche mit nichtdifferenzierbaren Termen, und höhere Zustandsraumdimensionen verwendbar.

Um sich von der Leistungsfähigkeit dieses Filters zu überzeugen, folgt ein umfangreicher Test mit künstlich erzeugten Daten des Lorenz-Systems. Weitere Beispiele finden sich in [21, ] oder für eine experimentelle Zeitreihe in [25].




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Udo Schwarz
Wed Apr 23 10:45:28 MEST 2003