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Modell nach D. Maus im Zustandsraum

Das System ``Zerspanprozess'' wird den Vorschlägen von D. Maus [9] folgend, auf ein mathematisches Massenpunkt-Modell reduziert. Bestimmte materialbedingte dynamische Eigenschaften des Werkzeugs und Werkzeughalters, wie etwa Torsionen, werden dabei vernachlässigt. Weiterhin wird angenommen, daß die zur Anregung dieses Zwei-Massen-Schwingers benötigte Energie durch Trockenreibungseffekte zwischen Werkzeug und Werkstück bereitgestellt wird. Die entsprechenden Bewegungsgleichungen sind nach D. Maus durch
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gegeben. Die Auslenkung des Werkzeughalters wird hierbei durch tex2html_wrap_inline1000 beschrieben und die des interessierenden Werkzeugs durch tex2html_wrap_inline1002. Für weitere Untersuchungen wird dieses System von Bewegungsgleichungen zunächst in die kanonische Form, d.h. ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung gebracht
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wobei durch Einführen der Komponente tex2html_wrap_inline1004 ein homogenes Modell erzeugt wird. Es soll die Annahme stationärer Parameter, d.h. tex2html_wrap_inline1006 für i=1,2,...,12 gelten, wobei tex2html_wrap_inline1010 bis tex2html_wrap_inline1012 die unbekannten Anfangsbedingungen der Zustandskomponenten bezeichnen.

Zur Charakterisierung des Drehprozesses werden i. A. die Signale eines am Werkzeughalter montierten Beschleunigungsaufnehmers aufgenommen. Die resultierenden Zeitreihen (``akustische Emissionsdaten'') entsprechen demnach im wesentlichen der Beschleunigung des Werkzeughalters, d.h. im Massepunktbild einer zu tex2html_wrap_inline1014 proportionalen Größe, hier der vom Beschleunigungsaufnehmer erzeugten elektrischen Spannung y. Somit ist die Messgleichung (unter der Annahme additiven Rauschens) durch
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gegeben. Das vereinfachend als gaußverteilt angenommene Rauschen tex2html_wrap_inline1018 sei weiterhin stationär und weiß, d.h. zeitlich unkorreliert. Die Beobachtungsabbildung h beschreibt den sogenannten Dynamikbereich des Beschleunigungsaufnehmers und eventuell vorgenommene messtechnische Filterungen. Ist die ``Sensorspannung'' proportional zur tatsächlichen Beschleunigung am Werkzeughalter und werden keine vorverarbeitenden Filterungen (``Preprocessing'') vorgenommen, dann ist h eine lineare Funktion.

Der Identifikation des Systems entspricht nun die Bestimmung seiner Modell-Parameter sowie der als Parameter aufgefassten, hier unbekannten, Anfangsbedingungen der Zustandskomponenten tex2html_wrap_inline1000 bis tex2html_wrap_inline1004 gegeben durch das entsprechend vorgestellte Zustandsraummodell.


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vor. Somit wäre das deterministische Skelett, d.h. die vom Rauschen befreite Beobachtung in Form von Gl. (9), für eine monotone Abbildung h als invertierbar einzustufen, da sich die Übertragungsfunktion h experimentell bestimmen ließe. Für nicht allzu starkes Rauschen, sollte diese Invertierbarkeit dann auch numerisch gegeben sein. Die Identifizierbarkeit des Zustandsraummodells hängt somit nur noch von den Eigenschaften der Zustandsgleichung ab. Entsprechende Untersuchungen analytischer oder numerischer Natur wären vorzunehmen, und im Falle von Nicht-Identifizierbarkeit müssten entsprechende Änderungen am Zustandsraummodell vorgenommen werden.

Für das Modell Gl. (3)-(7) tritt dabei ein Problem auf: der nicht-differenzierbare Term (sign-Funktion) in Gl. (6) erschwert die notwendige Identifizierbarkeitanalyse und schränkt die verwendbaren numerischen Identifikationstechniken und -methoden stark ein. Der Einsatz gebräuchlicher numerischer Schätztechniken, die beispielsweise auf Gradientenverfahren beruhen, ist aufgrund der Nicht-Existenz der dazu benötigten Jakobi- und Hessematrizen von vornherein ausgeschlossen. Verfahren, die ohne Ableitungen der Systemdynamik auskommen, sind beispielsweise durch die sogenannten nichtlinearen Kalman-Filter-Varianten mit simulationsbasierten Prädiktionsteil gegeben. Ein solches Verfahren ist das Unscented Kalman-Filter von S. Julier und G. Uhlmann.


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Udo Schwarz
Wed Apr 23 10:45:28 MEST 2003