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Grundlagen der Zustandsraummodellierung

Die zeitliche Entwicklung des Zustands tex2html_wrap_inline918 eines Systems sei durch eine stochastische Differentialgleichung, die Zustandsgleichung
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mit entsprechenden Anfangsbedingungen tex2html_wrap_inline932, tex2html_wrap_inline934 und tex2html_wrap_inline936 beschrieben. Die Verknüpfung der Zufallsvariablen des tex2html_wrap_inline938-wertigen Zustandsprozesses tex2html_wrap_inline940 mit denen des tex2html_wrap_inline942-wertigen Parameterprozesses tex2html_wrap_inline944, der über einem Zeitintervall tex2html_wrap_inline946 definierten beschränkten Funktion tex2html_wrap_inline948 und des tex2html_wrap_inline950-wertigen weißen und gaußverteilten Rauschprozesses tex2html_wrap_inline952 durch die Abbildungen tex2html_wrap_inline954 (Drift) und tex2html_wrap_inline956 (Diffusion) erfolgt im allgemeinen in nichtlinearer Art und Weise. Durch die Einführung des weissen, d.h. zeitlich unkorrelierten, Rauschens tex2html_wrap_inline958 wird beispielsweise die approximative Modellierung schnell fluktuierender, also zeitlich nicht auflösbarer Untersysteme oder externer zufälliger, d.h. nicht vorhersagbarer, Störungen ermöglicht. Dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik folgend, ist es sinnvoll, die Verteilungsdichte des Rauschens als gaußförmig anzusetzen [11], d.h. tex2html_wrap_inline960 mit Mittelwert tex2html_wrap_inline962 tex2html_wrap_inline950 und Kovarianzmatrix tex2html_wrap_inline966 tex2html_wrap_inline968. Will man das dynamische Verhalten des Systems gezielt beeinflussen bzw. kontrollieren, bedient man sich häufig deterministischer Störungen, modelliert durch tex2html_wrap_inline970, die sogenannte Kontrolleingabe bzw. Steuerung [12].

Typischerweise lässt sich der Zustand tex2html_wrap_inline918 nur zu diskreten Zeitpunkten tex2html_wrap_inline974, d.h. Vielfachen der Abtastzeit tex2html_wrap_inline976 mit tex2html_wrap_inline978 beobachten. Dies und durch Messgeräte verursachte zufällige und systematische Störungen des Zustands sowie die Möglichkeit einer nur unvollständigen Beobachtung aller Komponenten von tex2html_wrap_inline980 werden in der diskreten Beobachtungsgleichung
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zusammengefasst. Über die Beobachtungsabbildung tex2html_wrap_inline984 wird die Beeinflussung des Zustands tex2html_wrap_inline986 durch eine externe deterministische Kontrollvariable tex2html_wrap_inline988 und die Variablen tex2html_wrap_inline990 des tex2html_wrap_inline992-wertigen weißen und gaußverteilten Messrauschens tex2html_wrap_inline994 in funktionale Beziehung zur Variablen tex2html_wrap_inline996 des Beobachtungsprozesses tex2html_wrap_inline998 gesetzt. Analog der Zustandsgleichung übernimmt das Rauschen wiederum die approximative Modellierung schnell fluktuierender Untersysteme oder zufälliger äußerer Störungen, die während der Beobachtung auftreten. In den allermeisten Fällen hat man es mit additivem Beobachtungsrauschen zu tun.

Die Gesamtheit von (kontinuierlicher) Zustands- und (diskreter) Beobachtungsgleichung nennt man (kontinuierlich-diskretes) Zustandsraummodell.



Udo Schwarz
Wed Apr 23 10:45:28 MEST 2003