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Einleitung

Ein wichtiger Aspekt der Beschreibung von Systemen aus Natur und Technik ist eine effiziente mathematische Modellierung durch Differential- oder Differenzengleichungen. Ein denkbarer Ansatz besteht darin, das zunächst unbekannte System nur anhand seiner Datenreihen nachzubilden, ohne die tatsächlich wirkenden internen Abläufe und Anregungsmechanismen zu berücksichtigen. Bei diesen speziellen nicht-parametrischen Modellierungsansätzen (z.B. Neuronale Netze [2]) werden keinerlei Anforderungen an das verwendete Modell bezüglich funktionaler Ähnlichkeit zum tatsächlichen System gestellt. Lediglich die in einem wohldefinierten Sinne optimale Reproduktion der Systemwirkungen muss erreicht werden. Insbesondere im Hinblick auf die Modellierung von Zerspanprozessen wurden hierzu bereits entsprechende Arbeiten geleistet [1]. Das für einen vorliegenden Datensatz erhaltene ``optimale'' Modell erlaubt jedoch keinerlei Rückschlüsse auf die wirkenden physikalischen oder ingenieurstechnischen Mechanismen und kann zudem insbesondere für nichtlineare und stochastische Systeme sehr unhandlich bzw. ineffizient (Überanpassung [3]) sein. Es ist demnach von Vorteil, a-priori Informationen über die physikalischen oder technischen Abläufe in die Konstruktion des Modells einfliessen zu lassen.

In der Literatur finden sich die unterschiedlichsten Modellansätze zur Beschreibung der verschiedenen Aspekte der Zerspanung. Häufig resultieren diese aus einer Synthese von physikalischen und technischen Vorüberlegungen in Zusammenhang mit nicht-parametrischen Datenanalysetechniken. So erlauben beispielsweise Regressionstechniken wie die Maximalkorrelationsmethode [4, , ] und mit Abstrichen auch Spektralanalysen [7, ] in einer beachtlichen Anzahl von Fällen eine Eingrenzung der funktionalen Gestalt des in Frage kommenden Modells auf eine bestimmte durch einen tex2html_wrap_inline912-dimensionalen Parametervektor tex2html_wrap_inline914 parametrisierte Modellklasse.

Solche Untersuchungen wurden auch bezüglich der Modellierung von Verschleißerscheinungen an Drehwerkzeugen durchgeführt [9, ]. Hierbei lieferten insbesondere Auswertungen von Spektren experimenteller Daten Erkenntnisse zur Eingrenzung der Modelldimension. Dies und weitere Überlegungen physikalischer und ingenieurswissenschaftlicher Natur führten dann auf ein Reibschwingungssystem niedriger Dimension. Im Rahmen der Optimierung von Schneidwerkzeugen anhand von akustischen Emissionsdaten sollte dieser Modellansatz aufgegriffen und quantifiziert, d.h. Methoden zur Bestimmung der darin enthaltenen, unbekannten Parameter entwickelt werden.

Der Identifikation des Systems ``Zerspanprozess'' entspricht damit die Identifikation eines parametrischen Modells, welches die Dynamik eines minimalen Satzes von wesentlichen Bestimmungsstücken des Systems, den sogenannten Zustand, beschreibt. Die Umsetzung des Unterfangens der Parameterbestimmung erweist sich jedoch in der Praxis im allgemeinen als schwierig, da der Prozess der Messung bzw. Beobachtung den Zustand des Systems erheblich verfälschen kann. Würde man unter diesen Umständen versuchen, den Parameter tex2html_wrap_inline916 aufzufinden, wären in vielen Fällen falsche Schlüsse bezüglich der Systemdynamik die Folge. Es müssen daher Systemdynamik und Messwirkungen simultan modelliert, d.h. als eine funktionale Einheit verstanden werden. Im mathematischen Terminus wird das Ergebnis dieser Synthese als Zustandsraummodell bezeichnet. Diese Modellierungstechnik erlaubt neben der Bestimmung der Parameter auch eine Rekonstruktion des Systemzustandes.


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Udo Schwarz
Wed Apr 23 10:45:28 MEST 2003