Kalman-Filterung

Andre

In vielen Bereichen der Forschung und Technik ist es nicht immer mit vertretbarem Aufwand möglich, physikalische Größen direkt zu messen. Vielmehr lassen sich viele Observablen nur mit Messapparaturen gewinnen, die das eigentliche Signal verzerren und mit Meßrauschen versehen. Nun erscheint es wünschenswert, diese Messeinflüsse zu eliminieren - herauszufiltern. Läßt sich der physikalische Prozess und die Messung durch das mathematisches Zustandsraummodell beschreiben, so kann eine solche Filterung durch das Kalman-Filter erreicht werden.

Zunächst ist dieses Filter nur für lineare Zustandsraummodelle ein optimales Filter, das heisst liefert Bias-freie und konsistente Schätzungen. Viele physikalische Modelle und Beobachtungen sind jedoch nichtlinear, ebenso führt beispielsweise das Problem der Parameterschätzung schon für lineare Modelle auf nichtlineare Zustandsraummodelle. Dies erfordert eine Erweiterung des Kalman-Filters. Bei zu erwartender Kleinheit der Schätzfehler können viele Modelle durch Taylorentwicklung linearisiert werden und der Kalman-Formalismus mit diesen Linearisierungen weiterhin mit befriedigenden Ergebnissen verwendet werden. Bei vielen Nichtlinearitäten in Modell- und Beobachtungsfunktion führt die Taylorapproximation jedoch zu inkonsistenten und Bias-behafteten Schätzungen, bishin zur Divergenz des Kalman-Filters.


Fig. 1: Schema der Kalman-Filterung


Diese Probleme können umgangen werden, indem nicht die Modellfunktion, sondern die Verteilung des zu schätzenden Zustands approximiert wird. Diese alternative Approximation führt zu genaueren Ergebnissen und benötigt keinerlei Ableitungen, das heißt, sie bietet auch numerische Vorteile. Aufgrund dieser Ableitungsfreiheit lassen sich auch Unstetigkeiten in den Modellen besser behandeln.