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Ising-Modell

 

Das Ising-Modell ist das einfachste Modell f"ur auf einem Gitter wechselwirkende Spins und die daraus resultierenden magnetischen Eigenschaften des Gesamtsystems.

Dabei nimmt man ein D-dimensionales regelm"a"siges Gitter an, auf welchem Spins definiert sind, die die Zust"ande tex2html_wrap_inline3750 einnehmen k"onnen. Zudem gibt es zwischen benachbarten Spins i und j eine Wechselwirkung, die durch den Kopplungsparameter tex2html_wrap_inline3756 beschrieben wird. Dieser ist bei regelm"a"sigem Gitter und Einschr"ankung auf Wechselwirkungen n"achster Nachbarn f"ur alle Paare gleich, da alle Gitterpl"atze den gleichen Abstand voneinander haben. Es sei erw"ahnt, dass bei negativem Vorzeichen des Kopplungsparameters statt eines ferromagnetischen ein antiferromagnetisches Modell simuliert wird.

Eigenschaften von Vielteilchensystemen werden in der statistischen Mechanik durch die Ensembletheorie beschrieben. F"ur Systeme mit konstanter Teilchenzahl und variabler Energie ist das kanonische Ensemble besonders geeignet. Dabei werden die thermischen Eigenschaften aus der Zustandssumme
 equation93
bestimmt. Sie ist die Summe "uber alle m"oglichen Vielteilchenzust"ande S. Jeder Zustand wird entsprechend seiner einheitenlosen Energie H(S) gewichtet. T ist die ebenfalls einheitenlose Temperatur. In die Berechnung der Gesamtenergie mit der Hamiltonfunktion H(S) (Gl. 3.2) geht eine Summation "uber alle Nachbarpaare <i,j> sowie im allgemeinen Fall eine Summation "uber alle Gitterpl"atze i ein.
 equation99
h beschreibt den Einfluss eines "au"seren Magnetfeldes, f"ur h = 0 bzw. tex2html_wrap_inline3774 spricht man vom homogenen bzw. inhomogenen Ising-Modell. Bei den sp"ateren Betrachtungen ist h gleich Null, so dass sich die Gesamtenergieberechnung auf die Summe "uber die n"achsten Nachbarn beschr"ankt.

Um die Clustersuche durchf"uhren zu k"onnen, muss sich der Modellmagnet in der superparamagnetischen Phase befinden, in der nur eine Nahordnung der Spins in dichteren Regionen herrscht. Das setzt voraus, dass das Modell in der Lage ist, Phasen"uberg"ange zu simulieren. onsager44 hat einen Phasen"ubergang f"ur das 2D-Ising-Modell bewiesen.

Wenn es sich bei dem Punktfeld um ein stark inhomogenes (strukturiertes) Feld handelt, dann bilden die Spins magnetische K"orner, weil sie innerhalb eines Korns stark gekoppelt sind. Spins in unterschiedlichen K"ornern haben wegen ihres gr"o"seren Abstandes oder einer dazwischenliegenden St"orung nur eine schwache Kopplung. Bei niedrigen Temperaturen verh"alt sich das System ferromagnetisch. Alle Spins sind miteinander gekoppelt. Wird die Temperatur erh"oht, geht das System evtl. in eine sogenannte superparamagnetische Phase "uber. In dieser Phase sind die stark gekoppelten Spins gleich ausgerichtet, wogegen es keine relative Ordnung zwischen Spins mit schwacher Kopplung gibt. Bei weiterer Temperaturerh"ohung geht das System in die paramagnetische Phase "uber, in der das thermische Eigenverhalten der Spins "uber die Spin-Spin-Kopplung dominiert.

Wenn es nun gelingt, diese K"orner in der superparamagnetischen Phase ("ahnlich den Wei"s'schen Bezirken) zu identifizieren, k"onnen Cluster in dem zu Grunde liegenden Punktfeld erkannt werden.

Ein Phasen"ubergang tritt dann auf, wenn, im Falle eines magnetischen Systems, die freie Energie
equation105
nicht analytisch ist. Von einem Phasen"ubergang erster Ordnung spricht man, wenn die erste Ableitung eines der thermodynamischen Potentiale eine Diskontinuit"at aufweist. Die isotherme Suszeptibilit"at tex2html_wrap_inline3778
 equation107
die die zweite Ableitung der freien Energie nach dem Magnetfeld B bei konstanter Temperatur ist, steigt in diesem Fall stark an, so dass man an Hand des tex2html_wrap_inline3782-Diagramms die Phasen"uberg"ange feststellen kann. Im rechten Teil von Gleichung 3.4 ist die Relation, die im in Kapitel 4 vorgestellten Algorithmus verwendet wird, dargestellt. N bezeichnet die Anzahl der Spintr"ager im System, T die Analysetemperatur und m die Magnetisierung, die durch Ausz"ahlen (s. Gl. 4.3) zu bestimmen ist.


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Udo Schwarz
Thu Mar 1 15:43:04 MET 2001