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3-dimensionaler Testdatensatz ohne Hintergrund

Mit dem in Abbildung 4.8 dargestellten Testdatensatz

  
Figure 4.8: Datensatz zum Test der eindeutigen Trennung von separierten Clustern und zugeh"origes tex2html_wrap_inline3782-Diagramm.

soll die F"ahigkeit des Algorithmus, r"aumlich voneinander getrennte Cluster eindeutig zu identifizieren, "uberpr"uft werden.

Dazu sind 2 Cluster so angeordnet, dass der eine Cluster in Form eines Ringes den zweiten Cluster, der zylindrische Form hat, umschlie"st. Innerhalb der Cluster sind die Punkte jeweils entsprechend gleichverteilt platziert.

Weil die Abbildung der wahren dreidimensionalen Struktur der Daten schwerf"allt, sind autostereografische Projektionen dieser Strukturen im Anhang B zu finden. Der linke Teil der Abbildung 4.8 und die detektierten Cluster aus Abbildung 4.9 sind dort als Abbildungen B.1, B.2 und B.3 zu sehen.

Aus dem tex2html_wrap_inline3782-Diagramm (Abb. 4.8) wurde die Clustertemperatur von zun"achst tex2html_wrap_inline3984 gew"ahlt. Das Ergebnis der Analyse ist im linken Teil der Abbildung 4.9 gezeigt.

Im tex2html_wrap_inline3782-Diagramm fallen zwei lokale Maxima bei tex2html_wrap_inline3988 und tex2html_wrap_inline3990 auf. Eine Untersuchung ergab, dass bei einer Temperatur von etwa tex2html_wrap_inline3988 das System die ferromagnetische Phase verl"asst und in die superparamagnetische Phase "ubertritt. Die Kopplung der Spins zwischen den beiden Clustern ist nun so schwach, dass beide Cluster nur noch eine Nahordnung ihrer Spins besitzen. Bei tex2html_wrap_inline3990 geht der innere Cluster in die paramagnetische Phase "uber und zerf"allt (Abb. 4.9 rechts).

  figure297
Figure 4.9: Ergebnisse der Analyse f"ur tex2html_wrap_inline3984 (links) und tex2html_wrap_inline3998 (rechts).

Bis zur Temperatur von etwa tex2html_wrap_inline4000 befindet sich der "au"sere Cluster noch in der superparamagnetischen Phase, ehe er dann auch mit dem "Ubergang in die paramagnetische zerf"allt. Dieses Verhalten ist auf einen geringf"ugigen Dichteunterschied der Punktverteilungen beider Cluster zur"uckzuf"uhren.

In diesen Beispielen f"allt die Bestimmung der Clustertemperaturen leicht. Bei der Analyse der Daten nat"urlicher Systeme gibt das tex2html_wrap_inline3782-Diagramm oft keine genauen Hinweise auf die einzelnen Phasen"uberg"ange, oder aber die superparamagnetische Phase existiert nur in einem sehr kurzen Temperaturintervall. Wenn die Punktfelder jedoch ein kontinuierliches Dichteprofil besitzen, treten die Maxima des tex2html_wrap_inline3782-Diagramms unter Umst"anden sehr dicht hintereinander auf, so dass auch aus diesem Grund die Bestimmung der Clustertemperatur erschwert wird.

Ein kontinuierlicher Dichteverlauf ist ein ernstes Problem f"ur die Analyse der folgenden Daten, da z.B. die Mitgliederverteilung in einem Galaxienhaufen auf Grund der Eigengravitation einen typischen Dichteverlauf von tex2html_wrap_inline4006, d.h. ein Potenzgesetz der Form tex2html_wrap_inline4008 mit einem gewissen Kernradius a, aufweisen [Binney & Tremaine1987].

Hier steht man aber auch vor dem Problem, an Hand des tex2html_wrap_inline3782-Diagramms zu entscheiden, ob "uberhaupt eine superparamagnetische Phase existiert - und damit Cluster detektierbar sind. Dieses wird im Fall einer kontinuierlichen Ortabh"angigkeit der Dichte dramatisch erschwert. Um diese Problematik zu untersuchen, sei an dieser Stelle noch ein Datensatz betrachtet, der aus genau einem Cluster besteht, dessen Einzelpunkte gau"sverteilt sind. Dies kann einen Cluster mit einem gewissen Kernradius und einem nach au"sen abfallenden Dichteprofil approximieren. Die Clusterdetektion selbst interessiert hier nicht; das tex2html_wrap_inline3782-Diagramm soll aber einen Hinweis auf die Abwesenheit einer superparamagnetischen Phase geben.


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Udo Schwarz
Thu Mar 1 15:43:04 MET 2001