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Auffinden der superparamagnetischen Phase

Das Auffinden des Temperaturbereiches der superparamagnetischen Phase (Abschnitt 3.1) und damit der Cluster-Temperatur tex2html_wrap_inline3872 geschieht durch eine Monte-Carlo-Simulation f"ur jeweils 20 bis 100 verschiedene Temperaturen in einem Intervall von tex2html_wrap_inline3874 bis zu einer Temperatur etwas oberhalb des Phasen"ubergangs zur paramagnetischen Phase. Eine gute Absch"atzung f"ur die Temperatur des Phasen"ubergangs ist durch
 equation174
gegeben [Wiseman et al.1998], wobei q die Anzahl der m"oglichen Zust"ande f"ur die Potts-Spins ist (Abb. 4.2 und Abschnitt 3.2). Die Anzahl der erlaubten Spineinstellungen ist ein weiterer Parameter f"ur die Analyse.

  figure185
Figure: Abh"angigkeit der Temperatur des Phasen"uberganges tex2html_wrap_inline3878 von der maximalen Anzahl der Potts-Spins q

Zur Bestimmung des Ordnungszustandes des Systems wird die Magnetisierung nach der Gleichung
 equation191
mit tex2html_wrap_inline3882 und tex2html_wrap_inline3884 der Anzahl der Spins mit dem Wert tex2html_wrap_inline3886 ermittelt [Chen et al.1992]. Die Magnetisierung und damit die Ordnung einer Konfiguration wird durch den Zustand beherrscht, in dem sich die meisten Spins befinden (tex2html_wrap_inline3888). Ihr Anteil an der Gesamtzahl aller Spintr"ager N wird mit der Anzahl der Spinzust"ande q verkn"upft, so dass die Magnetisierung m auf das Intervall tex2html_wrap_inline3896 normiert wird.

Die Varianz der Magnetisierung (Gl. 3.4) ist proportional zur Suszeptibilit"at tex2html_wrap_inline3898 und wird als Indikator f"ur die superparamagnetische Phase verwendet. Die Varianz wird "uber alle Magnetisierungen einer Monte-Carlo-Simulation f"ur eine feste Temperatur bestimmt.

Um den Phasenzustandes des Modellmagneten zu bestimmen, wird die Suszeptibilit"at
equation200
mit Hilfe der Hamiltonfunktion
equation204
f"ur jede Temperatur ermittelt. tex2html_wrap_inline3900 bezeichnet das Kroneckersymbol.

Als effizienter Monte-Carlo-Algorithmus wird hier der Swendsen-Wang-Algorithmus (SWA) [Swendsen & Wang1986] verwendet. Beim SWA werden in einem Schritt die Spins der gesamten Konfiguration neu bestimmt, und zwar in einer Weise, dass Dom"anen von Punkten gleichen Spins mit proportional der inversen Temperatur entsprechender Wahrscheinlichkeit auch gleiche Spins behalten. F"ur alle Punkte werden die Spins der jeweiligen Nachbarn "uberpr"uft; sind die Spins gleich, wird mit der Wahrscheinlichkeit tex2html_wrap_inline3902 eine Bindung zwischen diesen Punkten erstellt. Im Anschluss daran werden die Dom"anen identifiziert, indem alle Punkte, die miteinander durch Bindungen gekoppelt sind, als zur Dom"ane zugeh"orig bezeichnet werden. Der gesamten Dom"ane wird ein f"ur alle Punkte gleicher zuf"alliger Spin zugewiesen. Dieses geschieht mit allen Dom"anen und Einzelpunkten, so dass alle Spins in einem SW-Schritt behandelt werden.

Der Vorteil des SWA ist hierbei, dass er im Bereich von Phasen"uberg"angen nicht vom critical slowing down betroffen ist, einem Effekt, bei welchem die Relaxationszeit f"ur kritische Temperaturen in der N"ahe von Phasen"uberg"angen divergiert. Die Fluktuationen der Magnetisierung werden langsamer, wodurch Berechnungen sehr ineffizient werden k"onnen.

Nachdem f"ur eine Reihe von Temperaturen die Varianz der Magnetisierung bestimmt wurde, erh"alt man ein tex2html_wrap_inline3782-Diagramm. Ein Beispiel ist in Abbildung 4.3 gezeigt.

  figure216
Figure: Varianz der Magnetisierung "uber der Temperatur

In diesem Beispiel f"ur den Testdatensatz aus Abb. 4.4 mit q=20 sieht man bei einer Temperatur von tex2html_wrap_inline3908 ein pl"otzliches Ansteigen der Varianz der Magnetisierung, gleichbedeutend mit dem "Ubergang von der ferromagnetischen in die superparamagnetische Phase. Der "Ubergang in den paramagnetischen Phasenzustand findet bei tex2html_wrap_inline3910 statt und ist damit sehr gut in Einklang mit unserer Absch"atzung (Gl. 4.2) f"ur q=20. Die Cluster-Temperatur w"ahlt man hier also im Bereich tex2html_wrap_inline3914.

wiseman98 wiesen nach, dass die Gr"o"se der identifizierten Cluster nur sehr schwach von der Wahl der Clustertemperatur abh"angt, solange sich das Modell in der superparamagnetischen Phase befindet. Aus diesem Grund kann man die Clustertemperatur dicht bei der Temperatur des Phasen"uberganges ferromagnetisch-superparamagnetisch w"ahlen.


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Udo Schwarz
Thu Mar 1 15:43:04 MET 2001