PhD Thesis, University of Greifswald (2006)

Analyse der Wiederkehr in dynamischen Systemen auf einer Ordinalskala

A. Groth

Bei der Auswertung umfangreicher Daten sind schnelle und robuste Methoden gefragt. Diese Arbeit besch?tigt sich mit dem Ansatz, Daten nur auf ordinalem Niveau zu analysieren. W?rend in der Statistik ordinale Verfahren immer mehr zur Anwendung kommen, gibt es in der Zeitreihenanalyse nur wenige Verfahren. In der ordinalen Analyse interessieren wir uns nicht f? die tats?hlichen Werte einer Zeitreihe, sondern lediglich f? die Ordnungsrelationen. Damit vernachl?sigen wir zwar einerseits eine Menge Information ?er die Struktur des Systems, andererseits gewinnen die Verfahren jedoch an Robustheit. So ?dern sich durch eine beliebige, monoton wachsende Amplitudentransformation der Zeitreihe die Relationen nicht, weshalb ordinale Verfahren demgegen?er invariant sind. Dies erleichtert die Analyse von Daten erheblich, da Probleme wie Nullpunktsverschiebungen oder Verzerrungen in der Skala vernachl?sigbar sind. Zudem ist eine viel schw?here Stationarit? des zugrunde liegenden Systems erforderlich, insbesondere wenn wir Werte mit einem nicht allzu gro?n zeitlichen Abstand betrachten.

Um die zeitliche Dynamik eines Systems und dessen Wiederkehrzeiten im Phasenraum zu beschreiben, werden in Abh?gigkeit von der Problemstellung verschiedene Ans?ze diskutiert. Nur mit Mitteln der ordinalen Zeitreihenanalyse modellieren wir die Wiederkehr zun?hst innerhalb einer Trajektorie (univariate Zeitreihenanalyse). Wir erhalten damit eine Statistik, die gegen?er einer gro?n Klasse periodischer Funktionen invariant ist. In einer Anwendung zur Sprachverarbeitung kann daraus ein robuster Sch?zer zur Bestimmung der Pitchperiode abgeleitet werden.

Danach verallgemeinern wir das Modell einer ordinalen Wiederkehr auf einen Vergleich zwischen zwei Trajektorien (bivariate Zeitreihenanalyse). Eine darauf aufbauende Statistik erm?licht eine robuste Analyse der Synchronisation von gekoppelten Oszillatoren. Bei der Auswertung von Elektroenzephalogrammen tritt der Vorteil einer ordinalen Herangehensweise deutlich hervor. In diesem Fall kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Messbedingungen zeitlich konstant sind. Die Daten k?nen aufgrund vieler Faktoren in der Amplitudenskala oder dem Nullpunkt stark variieren und sind deshalb auf einer metrischen Skala schwierig auszuwerten. Durch den ?ergang zu einer ordinalen Skala werden die Daten gefiltert, wobei diese Arbeit u.a. auch der Frage nach geeigneten Parametern nachgeht.

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